Cực trị của hàm số: Lý thuyết, các dạng bài tập và cách giải chi tiết

Bạn đang xem: Cực trị của hàm số: Lý thuyết, các dạng bài tập và cách giải chi tiết tại lasting.edu.vn

Cực trị của hàm số là một trong những phần quan trọng của kiến thức đại số THPT. Nhằm giúp học sinh dễ dàng nắm bắt và vận dụng những kiến thức này. Monkey đã tổng hợp tất cả các khái niệm và cách tìm cực trị của hàm số thường gặp ngay dưới đây.

Lý thuyết về cực trị của hàm số

Cực trị của hàm số là điểm có giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất so với xung quanh mà hàm số đạt tới. Trong hình học, nó đại diện cho khoảng cách tối đa hoặc tối thiểu từ điểm này đến điểm khác.

1. Định nghĩa

Giả sử hàm f xác định trên K (K ⊂ ℝ) và x0 ∈ K .

x0 được gọi là điểm cực đại của hàm f nếu tồn tại khoảng (a;b) ⊂ K chứa điểm x0 sao cho f(x) < f(x0), ∀ x ∈ (a;b) \{ x0} . Khi đó f(x0) được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số f.
x0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại khoảng (a;b) ⊂ K chứa điểm x0 sao cho f(x) > f(x0), ∀ x ∈ (a;b) \{x0} . Khi đó f(x0) được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số f.

Một số lưu ý chung:

Điểm cực đại (cực tiểu) x0 gọi chung là điểm cực trị. Giá trị lớn nhất (cực tiểu) f(x0) của hàm số được gọi là cực trị. Hàm số có thể đạt cực đại hoặc cực tiểu tại nhiều điểm trên tập K.
Tổng quát, giá trị lớn nhất (cực tiểu) f(x0) không phải là giá trị lớn nhất (cực tiểu) của hàm số f trên tập K; f(x0) chỉ là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trên khoảng (a;b) chứa x0.
Nếu x0 là một điểm cực trị của hàm số f thì điểm (x0; f(x0)) gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số f.

2. Điều kiện cần và đủ để hàm số đạt cực trị

Hàm số có cực trị khi nào? Để hàm số đạt cực đại tại 1 điểm thì hàm số cần thỏa mãn các yếu tố sau (gồm: điều kiện cần và đủ).

điều kiện tiên quyết

Định lý 1: Giả sử hàm số f đạt cực đại tại x0. Khi đó, nếu f có đạo hàm tại điểm x0 thì f'(x0) = 0.

Một số lưu ý chung:

Điều ngược lại có thể không đúng. Đạo hàm f’ có thể bằng 0 tại điểm x0 nhưng hàm f không có cực đại tại điểm x0.
Hàm số có thể đạt cực đại tại điểm mà hàm số không có đạo hàm.

đủ điều kiện

Định lý 2: Nếu f'(x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua điểm x0 (theo chiều tăng) thì hàm số đạt cực tiểu tại x0.

Nếu f'(x) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua điểm x0 (theo chiều tăng) thì hàm số đạt cực đại tại x0.

Định lý 3: Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp một trên khoảng (a;b) chứa điểm x0, f'(x0) = 0 và f có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x0.

Nếu f”(x0) < 0 thì hàm số f đạt cực đại tại x0.
Nếu f”(x0) > 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại x0.
Nếu f”(x0) = 0 thì không kết luận được, phải lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu đạo hàm.

Hướng dẫn cách tìm cực trị của một số hàm số thường gặp

Mỗi hàm số có một tính chất và cách tìm cực trị khác nhau. Ngay sau đây, Monkey sẽ giới thiệu đến các bạn cách tính cực trị của hàm số hay gặp trong các đề thi nhất.

Cực trị của hàm bậc hai

Hàm số bậc hai có dạng: y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) với miền xác định là D = R. Ta có: y’ = 2ax + b.

Cực trị của hàm số 3

Hàm số bậc hai có dạng: y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0) với miền xác định là D = R. Ta có: y’ = 3ax2 + 2bx + c → Δ’ = b2 – 3ac.

Cách tìm đường thẳng đi qua hai cực trị của hàm số bậc ba:

Ta có thể phân tích: y = f(x) = (Ax + B)f ‘(x) + Cx + D bằng cách chia đa thức f(x) cho đa thức f ‘(x).

Giả sử hàm số đạt cực đại tại x1 và x2

Ta có: f(x1) = (Ax1 + B)f ‘(x1) + Cx1 + D → f(x1) = Cx1 + D vì f ‘(x1) = 0

Tương tự: f(x2) = Cx2 + D vì f'(x2) = 0

Kết luận: Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị có phương trình là: y = Cx + D

Cực trị của Hàm số Bậc hai (Hàm số Bình phương)

Hàm số bậc hai có dạng: y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0) với miền xác định là D = R. Ta có: y’ = 4ax^3 + 2bx = 2x(2ax^2 + b) và y ‘ = 0 x = 0 2ax^2 + b = 0 x = 0 x62 = -b/2a.

Khi -b/2a 0 <=> b/2a ≥ 0, y’ đổi dấu một lần khi x đi qua x0 = 0 → Hàm số đạt cực đại tại xo = 0
Khi -b/2a > 0 <=> b/2a < 0 thì y' đổi dấu 3 lần → hàm số có 3 cực trị

Cực trị của các hàm lượng giác

Phương pháp tìm cực trị của hàm lượng giác như sau:

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.
Bước 2: Tính đạo hàm y’ = f'(x), giải phương trình y’=0, giả sử có nghiệm x=x0.
Bước 3: Sau đó, chúng ta tìm đạo hàm y”.

Cực trị của hàm logarit

Chúng ta cần làm theo các bước sau:

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.
Bước 2: Tính đạo hàm y’, sau đó giải phương trình y’=0, giả sử có nghiệm x=x0.
Bước 3: Xem xét hai khả năng:

Nếu dấu của y’ được xét: Sau đó: lập bảng biến thiên và rút ra kết luận dựa trên định lý 2.
Nếu dấu của y’ không xét được: Khi đó:

GIÚP CON BẠN HỌC TOÁN VÀ TIẾNG ANH SIÊU TIẾT KIỆM CHỈ TRÊN 1 APP MONKEY MATH. VỚI NỘI DUNG GIẢNG DẠY KHÁC BIỆT GIÚP BÉ PHÁT TRIỂN TOÀN DIỆN TƯ DUY VÀ NGÔN NGỮ CHỈ VỚI 2K/NGÀY.

Các dạng bài tập thường gặp

Bởi các bài toán cực trị thường xuất hiện trong các kỳ thi THPT quốc gia hàng năm. Nắm bắt được tình hình chung, Monkey đã tổng hợp 3 dạng bài toán thường gặp liên quan đến cực trị của hàm số nhằm giúp các bạn dễ dàng luyện tập hơn.

Dạng 1: Tìm điểm cực trị của hàm số

Có 2 cách giải bài tìm điểm cực đại của hàm số mà các em có thể theo dõi dưới đây.

Cách 1:

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.
Bước 2: Tính f'(x). Tìm những điểm tại đó f'(x) bằng 0 hoặc f'(x) không xác định.
Bước 3: Lập bảng biến thiên.
Bước 4: Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

Cách 2:

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.
Bước 2: Tính f'(x). Giải phương trình f'(x) và ký hiệu xi (i=1,2,3,…) là nghiệm của nó.
Bước 3: Tính f”(x) và f”(xi ) .
Bước 4: Dựa vào dấu của f”(xi ) suy ra tính chất cực trị của điểm xi.

Ví dụ:

Tìm cực trị của hàm số y = 2×3 – 6x + 2.

Hướng dẫn giải:

Tập xác định D=R.

Tính y’ = 6x^2 – 6. Cho y’= 0 ⇔ 6×2 – 6 = 0 ⇔ x = ±1.

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số có cực đại tại x = – 1, y = 6 và hàm số có cực tiểu tại x = 1, y = -2.

Dạng 2: Tìm tham số m để hàm số đạt cực đại tại một điểm

Phương pháp giải:

Ở dạng toán này ta chỉ xét trường hợp hàm số có đạo hàm tại x0. Sau đó, để giải quyết vấn đề này, chúng tôi tiến hành theo hai bước.

Bước 1: Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị tại x0 là y'(x0) = 0, từ điều kiện này ta tìm được giá trị của tham số .
Bước 2: Kiểm tra bằng một trong hai quy tắc tìm cực trị, giá trị của tham số vừa tìm được có thỏa mãn yêu cầu của bài toán hay không?

Ví dụ:

Cho hàm y = x^3 – 3mx^2 +(m^2 – 1)x + 2, m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x=2.

Hướng dẫn giải:

Tập xác định D = R. Tính y’=3x^2 – 6mx + m^2 – 1; y” = 6x – 6m.

Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 2 →

⇔m=1.

Dạng 3: Biện luận theo cực trị m của hàm số

Đối với cực trị của hàm bậc ba

Cho hàm số y = ax^3 + bx^2 + cx + d, a ≠ 0. Khi đó ta có: y’ = 0 ⇔ 3ax^2 + 2bx + c = 0 (1) ; Δ’y’ = b^2 – 3ac.

Phương trình (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép thì hàm số đã cho không có cực trị.
Hàm số bậc 3 không có cực trị b^2 – 3ac 0
Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì hàm số đã cho có hai cực trị.
Hàm số bậc 3 có 2 cực trị b^2 – 3ac > 0

Đối với cực trị của hàm bậc hai

Cho hàm số: y = ax^4 + bx^2 + c (a ≠ 0) có đồ thị là (C). Khi đó ta có: y’ = 4ax^3 + 2bx; y’ = 0 ⇔ x = 0 hoặc x^2 = -b/2a.

Ví dụ:

Tìm m để hàm số y = x3 + mx + 2 vừa có cực đại, vừa có cực tiểu.

Hướng dẫn giải:

Ta có: y’ = 3×2 + m → Hàm số y = x3 + mx + 2 có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi y’=0 có hai nghiệm phân biệt. Vậy m < 0.

Một số bài tập tìm cực trị của hàm số tự luyện

Đáp án các bài tập trên là: 1A; 2D; 3A; 4A; 5A; 6A; 7D; 8D; 9Đ; 10B; 11C.

Trên đây là toàn bộ kiến thức về cực trị của hàm số mà Khỉ muốn chia sẻ đến bạn đọc. Hy vọng bài viết này sẽ giúp ích cho các bạn chuẩn bị cho kỳ thi sắp tới. Xin được ở bên bạn!

Bạn thấy bài viết Cực trị của hàm số: Lý thuyết, các dạng bài tập và cách giải chi tiết có khắc phục đươc vấn đề bạn tìm hiểu ko?, nếu ko hãy comment góp ý thêm về Cực trị của hàm số: Lý thuyết, các dạng bài tập và cách giải chi tiết bên dưới để lasting.edu.vn có thể thay đổi & cải thiện nội dung tốt hơn cho các bạn nhé! Cám ơn bạn đã ghé thăm Website: lasting.edu.vn

Nhớ để nguồn bài viết này: Cực trị của hàm số: Lý thuyết, các dạng bài tập và cách giải chi tiết của website lasting.edu.vn